측도 공간

셈측도는 주어진 집합의 원소 개수를 측정하는 가장 직관적인 측도이다. 유한 집합에 대해서는 원소의 수를, 무한 집합에 대해서는 무한대 값을 부여한다. 이는 측도론에서 가장 기본적인 예시 중 하나로, 측도의 정의와 성질을 이해하는 데 도움이 된다.

구체적으로, 가측 공간 (X, Σ)에서 Σ를 X의 모든 부분집합의 모음(멱집합)으로 정의한다. 이때 셈측도 μ는 Σ에 속하는 임의의 집합 A에 대해, A가 유한 집합이면 그 원소의 개수를, A가 무한 집합이면 양의 무한대를 대응시킨다. 이 정의는 측도의 세 가지 공리(비음성, 공집합의 측도는 0, 가산 가법성)를 모두 만족시킨다.

셈측도는 이산 공간에서의 적분을 정의하는 데 자연스럽게 사용된다. 예를 들어, 함수 f: X → R에 대한 셈측도에 대한 르베그 적분은, X가 가산 집합일 경우 f(x) 값들의 합으로 이해할 수 있다. 이는 일반적인 합의 개념을 측도론의 언어로 재해석한 것이다.

셈측도는 르베그 측도와 대비되는 성질을 가진다. 르베그 측도는 연속적인 크기를 재는 반면, 셈측도는 이산적인 개수를 세는 역할을 한다. 또한, 모든 부분집합이 가측 집합이므로 측도론에서 발생할 수 있는 비가측 집합의 복잡한 문제를 고려할 필요가 없다는 점에서 간단하다.

르베그 측도는 유클리드 공간의 부분 집합에 길이, 넓이, 부피와 같은 고전적인 기하학적 크기를 일반화하여 부여하는 측도이다. 이는 실해석학과 측도론의 핵심 개념으로, 르베그 적분의 기초를 이룬다. 르베그 측도는 n차원 유클리드 공간 R^n 위에서 정의되며, 특히 실수선 R 위의 르베그 측도는 구간의 길이를 자연스럽게 확장한 것이다.

르베그 측도의 구성은 외측도의 개념을 통해 이루어진다. 먼저 R^n의 모든 열린 직사각형들의 부피를 정의한 후, 이를 바탕으로 임의의 집합에 대한 외측도를 정의한다. 그런 다음 카라테오도리 확장 정리를 적용하여 가측 집합(르베그 가측 집합)의 시그마 대수와 그 위의 측도를 얻는다. 이 과정에서 길이를 가지지 않는 비가측 집합의 존재가 증명되는데, 이는 선택 공리를 필요로 한다.

르베그 측도는 몇 가지 중요한 성질을 가진다. 이는 이동 불변성, 즉 집합을 평행이동해도 그 측도값이 변하지 않는 성질을 만족한다. 또한, 셀 수 있는 가산 집합의 르베그 측도는 항상 0이다. 예를 들어, 유리수 집합은 실수선에서 조밀하지만 가산 집합이므로 르베그 측도는 0이다. 이 측도는 르베그 적분을 정의하는 데 필수적이며, 이를 통해 리만 적분으로는 적분 가능하지 않은 많은 함수들을 다룰 수 있게 된다.

르베그 측도는 이상적인 측도 성질을 많이 갖추고 있지만, 모든 집합에 대해 정의될 수는 없다는 한계가 있다. 즉, 르베그 가측이 아닌 집합이 존재한다. 이러한 비가측 집합의 구성은 비직관적이지만, 측도론의 깊은 결과를 보여준다. 그럼에도 불구하고, 르베그 측도는 현대 해석학의 표준 도구로 자리 잡았으며, 함수 공간 이론, 확률론, 푸리에 해석 등 다양한 분야에서 광범위하게 응용되고 있다.

확률 측도는 전체 공간의 측도가 1인 특별한 측도를 말한다. 이는 확률론의 수학적 기초를 제공하는 핵심 개념이다. 일반적인 측도 공간 (X, Σ, μ)에서, 만약 μ(X) = 1을 만족하면, 이 측도 μ를 확률 측도라고 부르며, 삼중순서쌍 (X, Σ, μ)를 확률 공간이라고 한다.

확률 측도에서, 집합 X는 표본 공간, 시그마 대수 Σ의 원소(가측 집합)는 사건, 그리고 사건 A ∈ Σ에 대한 측도 μ(A)는 그 사건이 일어날 확률로 해석된다. 따라서 확률의 기본 성질, 예를 들어 공집합의 확률은 0이고, 서로소인 사건들의 합집합의 확률은 각 확률의 합이며, 전체 확률은 1이라는 조건들은 모두 측도의 정의와 μ(X)=1이라는 조건에서 자연스럽게 유도된다.

확률론에서 다루는 대부분의 측도는 확률 측도이다. 예를 들어, 동전 던지기에서 앞면과 뒷면에 각각 1/2의 확률을 할당하는 것, 주사위의 각 면에 1/6의 확률을 할당하는 것은 유한 집합 위의 셈측도를 정규화한 확률 측도의 예시이다. 또한 연속형 확률변수를 기술하는 확률분포, 예컨대 정규분포나 지수분포는 실수선 위에서 정의된 르베그 측도에 대한 확률 밀도함수를 통해 기술되는 확률 측도이다.

이처럼 확률 측도는 이산과 연속을 아우르는 통일된 확률 계산의 틀을 마련한다. 이를 바탕으로 확률변수의 기댓값은 르베그 적분으로, 여러 확률변수의 결합분포는 곱측도 공간으로 정의되는 등, 현대 확률론의 체계가 구축된다.

디랙 측도는 특정 점에 모든 질량이 집중된 측도이다. 주어진 가측 공간 (X, Σ)와 X의 한 점 x0에 대해, 디랙 측도 δ_x0는 집합 A ∈ Σ에 대해 x0가 A에 속하면 1을, 그렇지 않으면 0을 할당한다. 즉, δ_x0(A) = 1_A(x0)로 정의된다. 이는 점 x0에서만 값이 1이고 다른 곳에서는 0인 함수의 적분과 같은 효과를 낸다.

이 측도는 매우 간단한 구조를 가지지만, 측도론과 확률론에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 확률론에서 이산 확률 변수의 분포를 표현하거나, 물리학에서 점 질량이나 점 전하를 모델링하는 데 사용될 수 있다. 또한, 임의의 측도를 디랙 측도의 가중합으로 근사하는 개념은 분포 이론의 기초가 되기도 한다.

디랙 측도는 르베그 측도와 대비되는 성질을 가진다. 르베그 측도가 연속적인 길이, 넓이, 부피를 측정한다면, 디랙 측도는 이산적인 '점'의 존재를 측정한다. 따라서 셈측도와 함께 이산 측도의 대표적인 예시로 볼 수 있다.

단조 수렴 정리는 측도론과 르베그 적분론에서 가장 기본적이고 중요한 수렴 정리 중 하나이다. 이 정리는 음이 아닌 가측 함수로 이루어진 점증 수열, 즉 각 점에서 함수값이 단조 증가하는 수열에 대해, 그 극한 함수의 적분이 적분값의 극한과 같음을 보장한다.

보다 정확히 말하면, 측도 공간 (X, Σ, μ) 위에서 정의된 음이 아닌 가측 함수의 열 {f_n}이 모든 x ∈ X와 n에 대해 0 ≤ f_n(x) ≤ f_{n+1}(x)를 만족하고, 극한 함수를 f(x) = lim_{n→∞} f_n(x)로 정의할 때, f의 적분은 f_n의 적분값의 극한과 일치한다. 즉, ∫_X f dμ = lim_{n→∞} ∫_X f_n dμ가 성립한다.

이 정리의 강력함은 적분과 극한의 교환이 매우 일반적인 조건 하에서 가능하다는 점에 있다. 함수열이 단조 증가하고 음이 아니기만 하면, 수열이 점별 수렴하기만 해도 적분의 극한 교환이 보장된다. 이는 리만 적분에서 요구되는 것과 같은 균등 수렴 조건이 필요 없다는 점에서 르베그 적분의 큰 장점을 보여준다.

단조 수렴 정리는 다른 중요한 수렴 정리들, 예를 들어 파투 보조정리나 지배 수렴 정리를 증명하는 데 핵심적인 토대가 된다. 또한 이를 통해 비단조 함수열에 대한 적분의 하한을 추정하는 데 유용하게 활용될 수 있다.

파투 보조정리는 측도론과 실해석학에서 함수열의 극한과 적분의 관계를 다루는 핵심 정리 중 하나이다. 이 정리는 비음의 가측 함수열에 대해, 그 극한함수의 적분이 적분들의 극한하계보다 작지 않음을 보장한다. 즉, 함수열의 하한을 취하는 과정에서 적분값이 갑자기 커지는 일이 없음을 수학적으로 명시한다.

보다 정확히 서술하면, 가측 공간 (X, Σ, μ) 위에서 정의된 비음의 가측 함수열 {f_n}이 있을 때, 모든 x ∈ X에 대해 f_n(x)가 어떤 함수 f(x)로 점별 수렴한다고 하자. 이때 f의 적분은 각 f_n의 적분들의 하극한보다 작지 않다. 이 결론은 함수열이 단조 증가하지 않아도 성립한다는 점에서 단조 수렴 정리보다 더 일반적인 상황에 적용할 수 있다.

파투 보조정리의 주요 가치는 적분과 극한의 교환을 직접적으로 허용하지는 않지만, 그 교환 가능성을 판단하거나 다른 중요한 정리들을 증명하는 데 필수적인 도구로 활용된다는 점에 있다. 특히 지배 수렴 정리의 증명에 핵심적인 역할을 한다. 또한 이 보조정리는 확률론에서 기댓값의 하한에 대한 논의나, 함수열의 평균 수렴을 다룰 때도 유용하게 쓰인다.

이 정리의 이름은 프랑스 수학자 피에르 조제프 루이 파투의 이름을 따서 명명되었다. 그의 업적은 적분과 극한의 교환 문제에 대한 초기 연구에 기반을 두고 있으며, 이를 통해 현대 측도론의 기초가 더욱 공고히 구축될 수 있었다.

지배 수렴 정리는 측도론과 르베그 적분 이론에서 함수열의 적분과 극한을 교환할 수 있는 조건을 제공하는 중요한 정리이다. 이 정리는 단조 수렴 정리나 파투 보조정리와 달리, 함수열이 특정한 적분 가능한 함수에 의해 '지배'된다는 조건 하에서 극한과 적분의 교환을 보장한다.

정리의 내용은 다음과 같다. 가측 공간 (X, Σ, μ) 위에서 정의된 가측 함수열 {f_n}이 어떤 함수 f로 점별 수렴하고, 모든 n에 대해 |f_n| ≤ g를 만족하는 적분 가능한 함수 g가 존재한다면, f도 적분 가능하며, f_n과 f의 적분값은 수렴한다. 즉, 극한을 적분 안으로 넣을 수 있어 ∫ lim f_n dμ = lim ∫ f_n dμ가 성립한다. 여기서 g를 지배 함수라고 부른다.

이 정리의 핵심은 함수열의 각 항이 절댓값이 통제 가능한 범위 내에 있다는 점이다. 지배 함수 g가 적분 가능하므로, 함수열이 너무 크게 발산하거나 적분값이 무한대로 발산하는 것을 방지한다. 이 조건은 실해석학에서 균등 수렴보다 약한 조건이지만, 적분과 극한 교환을 보장하기에 충분하다.

지배 수렴 정리는 르베그 적분의 강력한 도구로, 무한급수의 적분 교환, 매개변수에 의한 적분의 미분, 그리고 확률론에서 기댓값과 극한의 교환 등 다양한 분야에서 널리 응용된다.

푸비니 정리는 두 측도 공간의 곱공간 위에서 정의된 함수의 적분을 각 변수에 대해 순차적으로 적분하는 방식으로 계산할 수 있게 해주는 핵심 정리이다. 이 정리는 이중적분을 반복적분으로 바꾸어 계산을 단순화하는 데 유용하게 쓰인다.

구체적으로, 두 측도 공간 (X, A, μ)와 (Y, B, ν)가 주어졌을 때, 곱측도 μ×ν에 대해 적분 가능한 함수 f: X×Y → R에 대하여, 거의 모든 x에 대해 f(x, ·)가 ν-적분 가능하고, 그 적분값이 μ-적분 가능한 함수가 된다. 이때 함수 f의 이중적분은 먼저 y에 대해, 그 다음 x에 대해 적분하는 반복적분과 값이 같다. 또한 x와 y의 적분 순서를 바꾸어도 결과는 동일하다.

이 정리의 적용에는 몇 가지 조건이 필요하다. 가장 일반적으로 쓰이는 형태는 함수 f가 적분 가능할 때, 즉 |f|의 적분값이 유한할 때 성립한다. 또한 f가 음이 아닌 가측 함수일 때에도 순서에 상관없이 반복적분이 가능하며, 그 값은 이중적분과 일치한다. 이 음이 아닌 경우에 대한 정리는 토넬리 정리로도 불린다.

푸비니 정리는 르베그 적분 이론에서 매우 실용적인 도구로, 다변수 함수의 적분 계산뿐만 아니라 확률론에서 결합분포의 기댓값 계산 등 다양한 분야에서 광범위하게 응용된다.

외측도는 측도를 구성하는 핵심 도구이다. 측도는 특정한 성질을 만족하는 집합 함수이지만, 모든 부분집합에 대해 정의하기는 어렵다. 외측도는 더 넓은 집합족(보통 전체 부분집합족) 위에서 정의되며, 측도의 일부 성질을 완화한 형태를 가진다. 이를 통해 먼저 외측도를 구성한 뒤, 적절한 조건을 만족하는 집합들만을 골라내어 진짜 측도를 얻는 방법이 자주 사용된다.

외측도의 정의는 다음과 같다. 집합 X 위의 외측도 μ*는 X의 모든 부분집합을 [0, ∞]로 보내는 함수로, 다음 세 가지 조건을 만족한다.

1. μ*(∅) = 0

2. (단조성) A ⊂ B 이면 μ*(A) ≤ μ*(B)

3. (가산 준가법성) 임의의 가산 개 집합열 {A_n}에 대해, μ*(∪ A_n) ≤ Σ μ*(A_n)

여기서 세 번째 조건인 가산 준가법성이 측도의 가산 가법성과 다른 점이 핵심이다. 측도는 서로소인 집합들의 합집합에 대해 값들의 합이 정확히 일치해야 하지만, 외측도는 불일치해도 되고 오히려 합보다 작거나 같기만 하면 된다. 이 완화된 조건 덕분에 외측도는 모든 부분집합에 대해 쉽게 정의할 수 있다.

가장 대표적인 예는 르베그 외측도이다. 실수 집합 R의 부분집합 A에 대해, A를 덮는 가산 개의 구간들의 길이 합의 하한으로 정의된다. 이는 모든 부분집합에 대해 값이 존재하지만, 가산 가법성을 모든 집합에서 만족시키지는 않는다. 카라테오도리 확장 정리는 이러한 외측도로부터 진짜 측도를 얻는 방법을 제공한다. 외측도 μ*가 주어졌을 때, 카라테오도리 가측 집합이라 불리는 특별한 집합들(모든 E에 대해 μ*(E) = μ*(E∩A) + μ*(E\A)를 만족하는 A)만 모으면, 이 집합들은 시그마 대수를 이루고 μ*를 그 위로 제한하면 완전한 측도가 된다.

카라테오도리 확장 정리는 측도론에서 가장 기본적이고 중요한 정리 중 하나이다. 이 정리는 비교적 쉽게 정의할 수 있는 집합 함수인 외측도로부터 진정한 의미의 측도를 구성하는 방법을 제공한다. 즉, 어떤 집합족 위에서 정의된 준측도나 외측도가 주어졌을 때, 이를 전체 시그마 대수 위의 완전한 측도로 확장할 수 있는 조건과 그 절차를 명시한다.

구체적으로, 집합 X와 그 위에 정의된 외측도 μ*가 주어졌다고 하자. 카라테오도리는 μ*-가측 집합들의 모임 M이 시그마 대수를 이룬다는 것을 증명했다. 여기서 μ*-가측 집합이란, X의 모든 부분집합 A에 대해 μ*(E) = μ*(E ∩ A) + μ*(E \ A)가 성립하는 집합 A를 말한다. 그리고 외측도 μ*를 이 가측 집합족 M으로 제한하면, (X, M, μ*)는 완비 측도 공간이 된다.

이 정리의 가장 유명한 응용은 르베그 측도의 구성이다. 실수 집합 R 위에서 구간의 길이를 이용해 외측도를 정의한 후, 카라테오도리 확장 정리를 적용하면 르베그 가측 집합의 시그마 대수와 그 위의 르베그 측도를 얻을 수 있다. 이 방법은 유클리드 공간 R^n으로 자연스럽게 일반화된다. 또한, 이 정리는 곱측도 공간을 구성하거나 확률론에서 확률 측도를 정의하는 데에도 필수적으로 사용된다.

따라서 카라테오도리 확장 정리는 추상적인 측도 공간을 구축하기 위한 강력한 도구이다. 이를 통해 구체적인 집합 함수로부터 시작하여 엄밀한 측도론의 기초를 세울 수 있게 되었다.

르베그 적분은 측도 공간 위에서 정의되는 적분의 일반적인 이론이다. 고전적인 리만 적분이 구간을 세분화하여 함수의 그래프 아래 면적을 근사하는 방식이라면, 르베그 적분은 함수값의 범위를 세분화하고 그에 해당하는 정의역 집합의 측도를 이용하여 적분값을 구성한다. 이 접근법은 더 넓은 종류의 함수를 적분 가능하게 만들며, 특히 극한과 적분의 교환에 관한 강력한 정리들을 제공한다.

르베그 적분은 일반적으로 세 단계로 구성된다. 먼저, 음이 아닌 단순 함수, 즉 유한 개의 값을 갖는 가측 함수에 대해 적분을 정의한다. 다음으로, 음이 아닌 가측 함수에 대해 단순 함수의 극한으로 적분을 확장한다. 마지막으로, 일반적인 가측 함수를 양의 부분과 음의 부분으로 분해하여 그 차이로 적분값을 정의한다. 이 과정은 측도 μ에 의존하므로, 르베그 적분은 측도 공간 (X, Σ, μ) 위에서 정의된다.

이 이론의 핵심 가치는 수렴 정리들에 있다. 단조 수렴 정리, 파투 보조정리, 지배 수렴 정리 등은 적분과 점별 극한의 교환을 비교적 넓은 조건 아래에서 보장한다. 이는 리만 적분 이론에서 다루기 어려웠던 문제들을 해결하는 데 결정적이다. 르베그 적분은 특히 유클리드 공간 위의 르베그 측도와 결합될 때 현대 해석학의 기초가 된다.

르베그 적분은 함수 공간, 특히 L^p 공간의 이론을 가능하게 하여 함수해석학의 발전에 기여했다. 또한 확률론에서 기댓값은 확률 측도에 대한 르베그 적분으로 정의되며, 이는 확률 변수의 분석을 위한 표준적인 틀을 제공한다.

측도 공간은 확률론의 수학적 기초를 제공한다. 확률론에서 확률은 특별한 종류의 측도로 해석된다. 즉, 확률 공간은 표본 공간, 사건들의 시그마 대수, 그리고 전체 공간의 측도가 1인 측도(확률 측도)로 구성된 측도 공간이다. 이 프레임워크 안에서 사건의 확률은 해당 사건 집합에 할당된 측도값이 되며, 확률 변수는 가측 함수로 정의된다.

측도론의 강력한 적분 이론은 확률 변수의 기댓값, 분산, 고차 모멘트 등을 계산하는 도구가 된다. 예를 들어, 확률 변수 X의 기댓값 E[X]는 확률 측도에 대한 르베그 적분으로 정의된다. 또한 측도론의 주요 수렴 정리들은 확률론의 수렴 개념(예: 거의 확실한 수렴, 평균 수렴)과 그 관계를 엄밀하게 규명하는 데 핵심적이다.

이를 통해 대수의 법칙, 중심 극한 정리, 마팅게일 이론과 같은 확률론의 심층 정리들이 엄밀한 기초 위에 세워질 수 있다. 따라서 현대 확률론은 측도론 없이는 그 체계를 논할 수 없을 정도로 깊이 연관되어 있다.

측도 공간은 함수해석학의 여러 핵심 공간을 정의하는 토대를 제공한다. 대표적인 예로, 르베그 공간 L^p 공간이 있다. 이 공간은 측도 공간 (X, Σ, μ) 위에서 정의된 가측 함수들 중, 함수의 절댓값의 p제곱이 적분 가능한 것들의 동치류로 구성된다. 여기서 p는 1 이상의 실수이며, 이 공간은 완비 노름 공간, 즉 바나흐 공간이 된다. 특히 p=2인 경우 L^2 공간은 내적이 정의되어 힐베르트 공간을 이룬다.

측도론은 또한 함수해석학에서 중요한 연산자인 적분 연산자를 연구하는 데 필수적이다. 적분 연산자는 측도 공간 위의 핵 함수를 이용해 다른 함수로 변환하는 선형 연산자로 정의된다. 이러한 연산자의 유계성, 콤팩트성 등의 성질을 분석할 때, 그 정의와 성질은 근본적으로 주어진 측도 공간의 구조에 의존한다.

더 나아가, 측도 공간은 함수해석학의 추상적 틀인 바나흐 공간과 힐베르트 공간에 구체적인 모델과 예시를 제공한다. 추상적으로 정의된 이러한 공간들의 원소는 종종 측도 공간 위의 함수로 표현될 수 있으며, 이를 통해 연산자 이론이나 스펙트럼 이론을 더 풍부하게 전개할 수 있다. 따라서 측도 공간은 함수해석학의 이론과 응용을 연결하는 실질적인 장치 역할을 한다.

측도 공간은 동역학계를 연구하는 데 핵심적인 틀을 제공한다. 동역학계란 시간에 따라 진화하는 시스템을 수학적으로 모델링한 것으로, 여기서 '시간'은 이산적(정수)일 수도 있고 연속적(실수)일 수도 있다. 이러한 시스템에서 상태 공간의 부분집합이 시간이 지남에 따라 어떻게 변하는지, 예를 들어 어떤 영역이 얼마나 자주 방문되는지 등을 정량적으로 분석하려면 측도가 필요하다. 따라서 측도론적 동역학에서는 상태 공간 위에 측도 공간 (X, Σ, μ)을 설정하고, 시스템의 진화를 나타내는 변환(보존 변환)이 이 측도 구조와 어떻게 상호작용하는지를 탐구한다.

측도론적 동역학의 핵심 아이디어 중 하나는 측도 보존 변환이다. 이는 공간의 변환 T: X → X가 모든 가측집합 A에 대해 μ(T⁻¹(A)) = μ(A)를 만족하는 것을 의미한다. 즉, 변환 전후에 집합의 '크기'(측도)가 보존된다. 이 성질은 물리학의 에너지 보존 법칙이나 확률론의 정상성 개념과 깊이 연관되어 있다. 이러한 보존 성질 하에서, 각점의 궤적이 공간을 어떻게 '채우는지'를 기술하는 에르고드 이론과 같은 강력한 결과들이 도출될 수 있다.

에르고드 이론은 특히 통계역학과 정보 이론의 기초가 된다. 에르고드 정리는, 시스템이 에르고드성(기본적으로 불가분이고 충분히 혼합되는 성질)을 가질 경우, 시간 평균(한 궤적을 따라 긴 시간 동안 관측한 평균)이 공간 평균(전체 상태 공간에 대한 측도론적 적분)과 거의 모든 점에서 일치함을 보여준다. 이는 복잡한 동역학계에서 실험적으로 측정 가능한 시간 평균으로부터 시스템의 전체적인 통계적 성질(공간 평균)을 추론할 수 있게 해주는 이론적 근거가 된다.

측도 공간의 관점은 동역학계를 분류하고 그 성질을 연구하는 데에도 유용하다. 예를 들어, 두 측도 보존 시스템이 측도 동형인지(본질적으로 같은 동역학을 나타내는지) 판별하거나, 시스템의 엔트로피(무질서도 또는 정보 생성률을 측정)와 같은 불변량을 계산하는 데 측도론적 도구들이 필수적이다. 이처럼 측도 공간은 동역학의 추상적 구조를 정밀하게 다루기 위한 표준 언어 역할을 한다.

가측 함수는 측도 공간 사이의 구조를 보존하는 함수이다. 두 가측 공간 (X, Σ_X)와 (Y, Σ_Y)가 주어졌을 때, 함수 f: X → Y가 모든 E ∈ Σ_Y에 대해 그 역상 f^{-1}(E)가 Σ_X에 속하면, f를 (Σ_X, Σ_Y)-가측 함수라고 한다. 이 정의는 함수가 정의역의 가측 집합 구조와 공역의 가측 집합 구조를 서로 연결해 준다.

가측 함수의 가장 중요한 예시는 실숫값을 갖는 경우이다. 공역 Y가 실수 집합 R이고, 여기서의 시그마 대수 Σ_Y를 보렐 시그마 대수 B(R)로 취할 때, 함수 f: X → R이 (Σ_X, B(R))-가측이면 간단히 가측 함수라고 부른다. 이는 모든 열린 집합의 역상이 가측 집합임을 의미하며, 이 조건은 르베그 적분을 정의하는 데 필수적인 출발점이 된다.

가측 함수는 점별 극한, 합, 곱, 절댓값 등 여러 연산에 대해 닫혀 있다. 예를 들어, 가측 함수열 {f_n}의 점별 극한 함수 f(x) = lim_{n→∞} f_n(x) 역시 가측 함수이다. 이러한 성질은 측도론에서 다양한 수렴 정리를 다루는 기초가 된다.

가측 함수의 개념은 측도 공간 위에서 적분을 정의하기 위한 전제 조건이다. 르베그 적분은 먼저 간단한 함수(단순 함수)에 대해 정의한 후, 일반적인 가측 함수를 단순 함수열의 극한으로 근사하여 그 적분값을 정의한다. 따라서 적분 가능한 함수는 반드시 가측 함수여야 한다.

측도 공간의 정의에서 핵심 구성 요소 중 하나는 시그마 대수이다. 시그마 대수는 측정 가능한 집합들의 모임으로, 측도를 정의할 수 있는 영역을 규정한다. 주어진 집합 X 위의 시그마 대수 Σ는 X의 부분집합들로 이루어진 집합족이며, 다음 세 가지 조건을 만족한다. 첫째, 전체 집합 X가 Σ에 속한다. 둘째, Σ에 속하는 임의의 집합의 여집합도 Σ에 속한다. 셋째, Σ에 속하는 집합들의 가산 개의 합집합도 다시 Σ에 속한다.

이러한 조건 덕분에 시그마 대수는 가산 무한한 집합 연산에 대해 닫혀 있어, 측도론에서 필요한 모든 집합론적 조작을 안정적으로 수행할 수 있는 틀을 제공한다. 예를 들어, 교집합과 차집합 연산도 이 조건들로부터 유도된다. 시그마 대수 Σ가 주어지면, (X, Σ)를 가측 공간이라고 부르며, 여기에 측도 μ를 더하면 비로소 측도 공간 (X, Σ, μ)가 완성된다.

가장 대표적인 예는 실수선 위의 르베그 가측 집합족이다. 이는 보렐 시그마 대수[1]를 포함하며, 르베그 측도를 정의하는 영역이 된다. 반면, 모든 부분집합의 모임은 시그마 대수가 되기도 하지만, 르베그 측도를 모든 부분집합에 대해 일관되게 확장하는 것은 불가능하다는 것이 알려져 있다. 따라서 적절한 시그마 대수를 선택하는 것은 측도를 구성하는 데 필수적인 단계이다.

측도론의 여러 정리와 적분 이론은 기본적으로 이 시그마 대수의 구조 위에서 전개된다. 가측 함수의 개념도 시그마 대수를 통해 정의되며, 이를 통해 복잡한 함수들의 적분을 논리적으로 다룰 수 있게 된다.

측도 공간에서 적분은 함수의 크기나 면적을 측정하는 일반화된 방법이다. 고전적인 리만 적분과 달리, 측도론적 적분은 훨씬 더 넓은 종류의 함수와 집합에 대해 정의될 수 있으며, 특히 불연속적인 함수나 매우 복잡한 집합 위에서도 잘 작동한다.

측도 공간 (X, Σ, μ) 위에서의 적분은 일반적으로 단계적으로 정의된다. 먼저, 간단한 함수인 가측 단순 함수에 대해 적분값을 정의한 후, 이를 이용하여 일반적인 가측 함수의 적분을 극한을 통해 정의한다. 이 과정에서 함수의 가측성은 적분 가능성을 논의하는 데 필수적인 조건이 된다.

이렇게 정의된 적분은 르베그 적분의 핵심이 된다. 르베그 측도 공간에서의 적분이 바로 르베그 적분이며, 이는 리만 적분보다 강력한 수렴 정리들을 만족시킨다. 예를 들어, 지배 수렴 정리는 적분과 극한의 교환이 비교적 넓은 조건 하에서 가능함을 보여준다.

측도론적 적분은 확률론에서 기댓값을 정의하는 데에도 직접적으로 사용된다. 확률 공간은 전체 측도가 1인 특별한 측도 공간이므로, 확률 변수의 기댓값은 그 변수에 대한 적분으로 자연스럽게 정의된다. 이처럼 적분은 측도론의 핵심 연산으로서, 해석학과 확률론을 연결하는 중요한 도구이다.

확률 공간은 측도 공간의 특수한 경우로, 전체 집합의 측도가 1인 공간이다. 즉, 확률 공간은 표본 공간, 사건 공간, 그리고 확률 측도로 구성된 삼중체이다. 여기서 확률 측도는 전체 표본 공간에 대한 측도값이 1이라는 조건을 만족하는 측도이다. 이 구조는 확률론의 수학적 기초를 제공하며, 모든 확률적 현상을 기술하는 공식적인 틀이 된다.

확률 공간에서 표본 공간은 가능한 모든 결과의 집합을, 사건 공간은 표본 공간의 부분집합들 중 측정 가능한 것들, 즉 시그마 대수를 의미한다. 확률 측도는 각 사건에 0과 1 사이의 확률값을 할당하는 함수로, 측도의 모든 성질을 만족하면서 추가로 전체 공간에 대한 값이 1이어야 한다. 이는 어떤 사건도 발생하지 않을 확률이 0이고, 반드시 어떤 결과는 발생할 확률이 1임을 보장한다.

확률론의 주요 개념인 확률 변수는 이 확률 공간 위에서 정의된 가측 함수로 이해된다. 확률 변수의 기댓값은 르베그 적분을 통해 정의되며, 측도론의 강력한 수렴 정리들은 확률론의 수렴 정리로 직접적으로 이어진다. 따라서 측도론은 확률론을 위한 엄밀한 언어와 도구를 제공한다고 볼 수 있다.